El Circulo y Circunferencia

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

La palabra circunferencia proviene del latin circun, cuyo significado es alrededor.

Angulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Diámetro

El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, mide el doble del radio.

Cuerda

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Arco
Un arco de circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Flecha

La flecha o sagita de un arco circular es la distancia desde el centro del arco al centro de la cuerda.

Secante

Recta que pasa dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Tangente

Recta que pasa por un punto exclusivamente de la circunferencia. Es siempre perpendicular al radio en el punto de la tangencia.

Exterior

La recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común.

Angulo inscrito

Un ángulo inscrito es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.

Angulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Angulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

Angulo circunscrito

Es aquel ángulo cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia y sus lados corresponde justamente con dos tangentes de la misma.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

En una misma circunferencia, o en circunferencia iguales, a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales.

El diámetro perpendicular a una cuerda la divide a ella y al arco correspondiente en dos partes iguales.

El lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una circunferencia que pasan por un mismo punto P de ella es otra circunferencia tangente interior a la dada en P, y de radio la mitad.

Poligonos

POLÍGONOS

La denominación de polígono — palabra compuesta de poli , del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos — se aplica a las figuras geométricas planas, delimitadas por el cruce de tres o más líneas rectas; lo cual conforma una superficie definida por 3 o más lados, los cuales forman entre sí la misma cantidad de ángulos.

Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

Un polígono irregular no tiene todos sus lados iguales. Sus vértices no están circunscritos en una circunferencia.

Un polígono está inscrito en una circunferencia, si todos sus vértices pertenecen a la circunferencia.                                     
Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos los sus lados son tangentes a la circunferencia.

Un polígono regular estrellado puede construirse a partir del regular convexo uniendo vértices no consecutivos de forma continua.

Los polígonos cóncavos, en este sentido, son las figuras de este tipo que tienen uno o más ángulos interiores que miden más de pi radianes o de 180°.

Si hablamos de polígonos convexos, nos referiremos a los polígonos cuyas diagonales son siempre interiores y cuyos ángulos internos no superan los 180 grados.                                                        

Los polígonos equiángulos tienen todos sus ángulos iguales

Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.

• Ángulo interior = 180° − Ángulo central
• Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º

• Ángulo exterior = Ángulo central
• Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Los polígonos se clasifican según tres criterios:

Por la igualdad o desigualdad de lados:
Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;
Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:
Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.
Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.
Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.
Hexágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.
Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.
Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.
Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.
Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.
Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.
Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.
Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:
Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría
Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

EL TRIANGULO 

El triángulo es el polígono delimitado por tres lados; y que en consecuencia contiene tres ángulos, con sus respectivos vértices.

Clases de triángulos.

Los triángulos se clasifican:
En consideración a sus lados, en:
Triángulos equiláteros — cuando sus tres lados son iguales.
Triángulos isósceles — cuando solamente dos de sus lados son iguales.
Triángulos escalenos — cuando sus tres lados son desiguales.

                                                           

En consideración a sus ángulos, en:
Triángulos acutángulos — cuando sus tres ángulos son agudos.
Triángulos rectángulos — cuando tienen un ángulo recto.
Triángulos obtusángulos — cuando tienen un ángulo obtuso.

CIRCUNCENTRO

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

BARICENTRO

Es el punto de corte de las tres medianas.

ORTOCENTRO

Es el punto de corte de las tres alturas.

INCENTRO

Es el punto de corte de las tres bisectrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

MEDIANAS: Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Alturas de un triángulo.- Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Triángulo órtico.- es el que se forma a partir de los pies de las alturas de un triángulo.

Cervianas.- son ternas de rectas concurrentes que pasan por los vértices de un triángulo.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

• Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.                       a < b + c                                    a > b - c
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

• El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.                                                                                                                                          α = A + B                                           α = 180º - C

                                                       

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIANGULO DADO SUS TRES LADOS AC, BC, AB

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIANGULO DADO DOS LADOS AC, AB Y EL ANGULO QUE COMPRENDEN 

Construcciones gráficas fundamentales

Construcciones Gráficas Fundamentales

Mediatriz:La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a éste que lo divide en dos partes iguales. Los pasos a seguir para su trazado son:

1. Abre el compás algo más de la mitad del segmento dado AB y, con centro en el extremo A traza una arco.

2. Sin modificar la abertura del compás y con centro en B. traza otro arco que cortará al anterior en los puntos C y D.

3. Une los puntos C y D para obtener la recta mediatriz.

Bisectriz 

Conocido el vértice:La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.los pasos para su trazado son:

1.-Se traza un arco correspondiente al ángulo

2.-Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.

3.-La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.   

Perpendicular por un punto:

Perpendicular a un punto exterior:

Procedimiento:

 1. Con el compás y con centro en el punto P, se traza un arco de radio cualquiera que corte a la recta en dos puntos A y B. 

2. Con el compás y con el mismo radio anterior, se dibuja un arco con centro en el punto A. 

3. Con el compás y con el mismo radio anterior, se dibuja un arco con centro en el punto B. 

4. Estos dos últimos arcos se cortan en dos puntos, uno coincidente con P y el otro es su simétrico respecto a la recta. 

5. Uniendo el punto P con su simétrico tendremos la recta perpendicular a la recta dada.

Perpendicular a un segmento por un extremo:

Transportar un ángulo:

1.Se traza un arco de circunferencia de centro V y radio arbitrario, obteniendo los puntos A y B. 

2. Se traza un arco de circunferencia de centro V’ y radio VA obteniendo el punto C. 

3. Se traza un arco de circunferencia de centro A y de radio AB. 

4. Se traza un arco de circunferencia de centro C y radio AB, obteniendo el punto D.

5. Se traza la semirrecta VD, obteniendo el ángulo α.

División de un ángulo en 3 partes iguales:

1. Haciendo centro en el vértice del ángulo V , con un radio cualquiera determinamos el punto A sobre uno de los tramos rectos. 

2. Haciendo centro en A con el radio anterior, se traza un arco que corta al primer arco trazado en el punto B. 

3. La recta que une B y el vértice V dividen el ángulo recto en uno de 30° y un ángulo de 60°. 

4. Solo que da trazar la bisectriz del ángulo creado de 60°, que está comprendido entre las rectas que pasan por BV y VA. 

5. El punto obtenido C,unido al V, define una recta que divide el ángulo de 60° en dos de 30°, y por lo tanto hemos dividido el ángulo rectos en tres ángulos iguales.

Centro de un arco cualquiera de Circunferencia:

Para encontrar el centro de la circunferencia, dibujamos dos cuerdas (tomando los puntos dados dos a dos) y trazamos sus mediatrices, que se cortarían en dicho centro.

Lugar geométrico:

Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.

Arco Capaz:

Arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo.

Pasos para trazar un arco capaz:

1. Dibuja la mediatriz m del segmento AB.

2. En un extremo del segmento, dibuja una recta r que forme un ángulo de 60º con el segmento.

3. Desde ese mismo extremo, dibuja una recta s perpendicular a r, que cortará a la mediatriz m en el punto O.

4.El punto O es el centro de un arco que pasa por A y por B y desde cuyos puntos se ven A y B con un ángulo de 60º. Es decir, O es el centro del Arco Capaz de 60º del segmento AB.